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Hybrid Bifurcations and Stable Periodic Coexistence for Competing Predators
We describe a new mechanism that triggers periodic orbits in smooth dynamical
systems. To this end, we introduce the concept of hybrid bifurcations: Such
bifurcations occur when a line of equilibria with an exchange point of normal
stability vanishes. Our main result is the existence and stability criteria of
periodic orbits that bifurcate from breaking a line of equilibria. As an
application, we obtain stable periodic coexistent solutions in an ecosystem for
two competing predators with Holling's type II functional response
Periodic orbits in HoĆavaâLifshitz cosmologies
We consider spatially homogeneous HoĆavaâLifshitz models that perturb General Relativity (GR) by a parameter vâ(0,1) such that GR occurs at v=1/2. We describe the dynamics for the extremal case v=0, which possess the usual Bianchi hierarchy: type I (Kasner circle of equilibria), type II (heteroclinics that induce the Kasner map) and type VI0,VII0 (further heteroclinics). For type VIII and IX, we use a computer-assisted approach to prove the existence of periodic orbits which are far from the Mixmaster attractor. Therefore we obtain a new behaviour which is not described by the BKL picture of bouncing Kasner-like states
Die Einsteinschen Zwangsbedingungen aus dynamischer Perspektive
The Einstein constraint equations describe the space of initial data for the
evolution equations, dictating how space should curve within spacetime. Under
certain assumptions, the constraints reduce to a scalar quasilinear parabolic
equation on the sphere, and nonlinearity being the prescribed scalar curvature
of space. We focus on self-similar solutions of Schwarzschild type, which
describe the space of initial data of certain black holes, for example. The
first main result gives a detailed study of the axially symmetric solutions,
since the domain is now one dimensional and nodal properties can be used to
describe certain asymptotics of the rescaled self-similar solutions. Such
asymptotics describe the possible metrics arising at an event horizon of a
black hole, depending on the metric inside the horizon. Those are described by
Sturm attractors. In particular, we compute an example for a prescribed scalar
curvature. The second main result state a symmetrization property of certain
metrics in the event horizon, namely, how the symmetry of the spherical domain
can influence the symmetry of solutions.Die Einsteinschen Zwangsgleichungen charakterisieren die Menge der
Anfangsdaten der Einsteinschen Evolutionsgleichungen. Diese beschreiben, wie
sich der Raum innerhalb der Raumzeit krĂŒmmt. Unter gewissen Annahmen
reduzieren sich die Zwangsbedingungen auf eine einzige skalare, quasilineare
parabolische Gleichung auf der SphÀre und einer, durch die vorgeschriebene
skalare KrĂŒmmung des Raumes, gegebenen NichtlinearitĂ€t. In dieser Doktorarbeit
konzentrieren wir uns auf selbstÀhnliche Lösungen von Schwarzschild, welche
zum Beispiel die Anfangsdaten von Schwarzen Löcher beschreiben. Das erste
Hauptresultat ist eine detaillierte Untersuchung von axialsymmetrischen
Lösungen, da sich diese Lösungen durch nodale Eigenschaften analysieren
lassen, zum Beispiel um bestimmte Asymptotiken der reskalierten,
selbstÀhnlichen Lösungen zu erhalten. Die Asymptotiken korrespondieren zu
moglichen Metriken, die an einem Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs,
abhÀngig von der Metrik innerhalb des Horizonts, entstehen. Dabei können die
möglichen Metriken durch Sturm-Attraktoren charakterisiert werden. Wir zeigen
dies insbesondere an einem Bespiel einer bestimmten NichtlinearitÀt. Das
zweite Hauptergebnis ist eine Symmetrierungseigenschaft von bestimmten
Metriken im Ereignishorizont, also insbesondere wie die Symmetrie der SphÀre
die Symmetrie der Lösungen beeinflusst